Дмитрий Онищенко окончил Московскую государственную консерваторию имени П. И. Чайковского (2006) и аспирантуру МГК (2009), где его педагогами были Юрий Лисиченко, Лев Наумов и Андрей Диев. В 2003–2004 гг. обучался также в Королевском колледже музыки в Манчестере (класс профессора Нормы Фишер). С 2006 по 2013 годы совершенствовался в Высшей школе музыки в Ганновере (классы профессоров Владимира Крайнева и Арье Варди).
Победитель международных конкурсов Владимира Крайнева в Харькове, памяти Владимира Горовица в Киеве, в Энсхеде (Нидерланды), лауреат международных конкурсов имени П. И. Чайковского в Москве (V премия), в Хамамацу (Япония, II премия), имени Вианы да Мотта в Лиссабоне (II премия), в Сиднее (III премия) и других.
